Главная страница
Контакты

    Басты бет


«Шапшаң есептеу тәсілдері»

жүктеу 154.65 Kb.



жүктеу 154.65 Kb.
Дата27.09.2018
өлшемі154.65 Kb.

«Шапшаң есептеу тәсілдері»


Фамилия Нұрғали Имя Жансая Отчество Бақбергенқызы Класс 8«Б» Школа №11 Населеннннный пункт г.Жезказган Научный руководитель Сабитова Анар Балташевна Секция Прикладная математика Тема доклада «Шапшаң есептеу тәсілдері» Язык Казахский Требуется ли техническое оборудование (указать какое) слайд Шапшаң есептеудің кейбір әдістері Нұрғали Жансая 8 «Б», № 11мектеп,Жезқазған қаласы Жетекшісі:Сабитова А.Б.

Математика (гр. μάθημα - ғылым, білім, оқу; μαθηματικός - білуге құштарлық) - әлдебір әлемнің сандық қатынастары мен кеңістіктік формаларын, пішіндерін өлшейтін, оның ішінде - структуралар, өзгерістер, белгісіздік жөніндегі ғылым.

Шапшаң есептеудің кейбір әдістері Шапшаң есептеудің әртүрлі әдістері қолданылып келеді. Ауызша есептеу дағдылары математикалық білімнің маңызды элементі болып табылады. Соңғы жылдардағы компьютер, калькулятордың өмірге көптеп енуі оқушылардың шапшаң есептеу дағдыларына, ойлау қабілетінің тежелуіне әсер етуде. Қолданып жүрген шапшаң есептеу әдістеріне тоқталайық. Арифметиканың пайда болуы туралы. Математиканың адам өміріндегі мәні орасан зор.Санай білмей, сандарды қосуды, азайтуды,көбейтуді,бөлуді дұрыс орындай білмей тұрып адам қоғамының дамуы мүмкін деп ойлауға болмайды.Арифметикалық төрт амал, ауызша және жазбаша есептеу ережелері бастауыш кластардан бастап оқылады.

Оқушы - белгілі бір іспен айналысатын адам. Бұл іс сабақ немесе адам қызығатын іс болуы мүмкін. Оқушы бір істі игерумен айналысады. Ол бұл істі жоғарғы деңгейге игергенге дейін оқушы деген атқа ие болады.

Компьютер (ағылш. computer - «есептегіш»), ЭЕМ (электрондық есептеуіш машина) - есептеулерді жүргізуге, және ақпаратты алдын ала белгіленген алгоритм бойынша қабылдау, қайта өңдеу, сақтау және нәтиже шығару үшін арналған машина.

Ереже - дәстүрлі халық құқығының қайнар көзі, нормативтік-құқықтық қағидалар. Ежелгі дәуірде және орта ғасырларда жөн-жосық, ата-баба жолы деп аталған. Ережелер сырт пішімі жағынан мақал-мәтелге, қанатты сөзге ұқсас болғанымен, нақтылығымен, дәйектілігімен ерекшеленеді.

Бұл ережелерді бір адам ойлап шығарған немесе тапқан емес.Арифметика күнделікті практика талаптарына,адамдардың еңбектеніп әрекет жасауындағы өмірлік мұқтаждықтарынан туған.Арифметика өте баяу және ұзақ уақыт дамыған. Сонау ерте замандардың өзінде-ақ адамдарға өздерінің күнделікті өмірінде кездесіп отыратын әр түрлі нәрселерді санауға тура келген.Сонда адамның тек екіге дейін ғана санай білетін шағы болған. Екі саны адамның көру және есту мүшелерімен,жалпы алғанда нәрселердің нақтылы бір жұбымен байланыстырылған. Үнділердің «көз», тибеттіктердің «қанат» деген сөздері «екі» санын білдіретін. Егер нәрселер саны екіден көп болса, алғашқы қауым адамы олар туралы тек «көп» дейтін.

Алғашқы қауым - адамзат тарихындағы алғашқы қоғамдық-экономикалық бірлестіктердің әлеуметтік ғылымдағы атауы. Алғашқы қауымды жер шарын мекендеген барлық халықтар өз дамуының бастау сатысында басынан кешкен.

Адам бірте-бірте ғана үшке дейін, онан кейін беске, онға дейін т.с.с. санап үйренген. Өндірісті және сауданың өркендеп дамуымен байланысты санау тәсілі басқа жиындарға да,нәрселер(элементтер) саны барған сайын көбейе берген жиындарға қолданалады.

Жиын - математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Жиын немесе жиынтық ұғымы қарапайым математикалық ұғымға жатады. Сондықтан Жиын ұғымының анықтамасы берілмейді. Ол аксиомалық жолмен енгізіледі. Дегенмен Жиынды мысалдар арқылы түсіндіруге болады.

Өзінің практикалық іс-әрекетінде адамға қашықтықтарды,жер танаптарының аудандарын,ыдыстардың сыйымдылығын және басқа да шамаларды өлшеуге тура келді. Өлшей білу қажеттігі өлшеу тәсілдерінің, сондай-ақ санау техникасы мен сандарға амалдар қолдану ережелерінің пайда болуына және дамуына себепкер болды. Сонымен,арифметиканың пайда болуы және дамуы адамдардың еңбектену әрекеттерімен,қоғамның дамуымен байланысты. Біз қолданатын осылайша санау тәсілі,яғни он-оннан топтап санау ондық санау системасы немесе ондық нумерация деп аталады. Балалар саусақтарын санап үйренетіні сияқты,адамдар да қоғам дамуының алғашқы кезеңдерінде санау үшін екі қолының он саусағын пайдаланған. Қазірдің өзінде де «Саусақпен санағандай...»дейміз ғой.Осыдан барып –ондық санау системасы шыққан. Алайда кей бір жерлердегі ,атап айтқанда ,Арифметикадағы тайпалар мен халықтар санағанда бір қолының бес саусағын ғана пайдаланған ,олар бес-бестен санаған: оларда негізі бес саны болатын бестік санау системасы қалыптасқан.Бұл системада алғашқы бес санның ғана атаулары бар.Мысалы, «алты» саның «бес-бір»деп атаған т.с.с. Ең көне санау системасы –екілік санау системасы,ғалымдардың болжауы бойынша,бұл системамен бір кезде мысырлықтар пайдаланған. Ежелгі вавилондықтар алпыстық санау системсымен пайдаланған .Ондық санау системасында 999 миллионға дейінгі барлық натурал сандарды атау үшін небары 13 сөз ғана қолданылады: бір, екі, үш, төрт, бес,алты,жеті,сегіз,тоғыз,он ,жүз ,мың,миллион. 2.

Дағдылы сандар - заттарды табиғи санау кезінде, немесе реттік санау кезінде пайдаланылатын сандар.

Есептеу аспаптары туралы.Орыс есепшоты .Есептеу машиналары. Адам ерте кездің өзінде-ақ есептеу жұмысын жеңілдету мақсатымен әр түрлі құралдар мен аспаптарды пайдаланған.

Аспаптар (саймандар) панелі (Панель инструментов; toolbar) - 1) Windows жүйесінің әрекеттерді орындау батырмалары орналасқан басқару тақтасы; құрамында опцияның іске қосылғанын (қосылмағанын) көрсететін, әр түрлі әрекеттерді атқаратын көптеген жалаушалар мен қанатбелгілер болады.

Мақсат - белгілі бір межеге қол жеткізуге бағытталған әрекеттің ой-санадағы көрінісі. Мақсат ойлау нәтижесінде болашақты алдын ала болжау арқылы туатын мұрат, ішкі қозғаушы күшті білдіреді. Мақсатқа жету үшін әр түрлі іс-әрекеттер мен қимылдар жасалады.

Алғашқы,ең ежелгі «есептеу машинасы» адам қолдарының саусақтары мен аяқтарының башайлары болған. Сол арқылы адам едәір үлкен сандарды есептеуді үйренген.Саусақтарын түрліше бүге отырып,адам тек бірліктер мен ондықтарды ғана емес,тіпті жүздіктер мен мыңдарды кескіндеп көрсете білген.Адам миллионға дейінгі сандарды осылайша қолдарымен меңзеп кескіндей білген. Ежелгі заманда саудагерлер(финикиялық,вавилондық,т.б. саудагерлері) есеп –қисаптарын жүргізгенде астық дәндерін ,ұсақ тастарды ,бақалшақтарды пайдаланған ,сонда оларды кейініректе құм деп аталған арнаулы тақта бетіне жайып салып есептейтін.Құмды гректер мен римдіктер онан әрі жетілдіре түсіп,ол өзіміздің қазіргі есепшотымыз тәрізді есептеу тақтасына,есептеу аспабына айналған.

Рим немесе Рома (pronounced /rəʊm/; итал. Roma, pronounced /'roma/; лат. Roma) - Италия астанасы, Лацио әкімшілік аймағына қарасты Рим провинциясында орналасқан.

Ең көне есептеу аспаптарының бірі – қытайдың «суан – пан»деп аталатын есепшоты,ол Қытайда казір де қолданылады.Басқа бір ескі есептеу аспабы – жапон «соробаны». 3.Саусақпен санау .Көбейтудің әр түрлі әдістері. Саусақтарды бүгіп санау ерте заманда кең қолданылып келді.Адамның саусақтары мен олардың буындары,сондай-ақ саусақтарын бүгу және жазу,қолдарын бүгу мен жазу олардың ондаған және жүздеген мыңға дейін санай алуына ғана емес,сол сияқты кейбір арифметикалық амалдарды орындауына да мүмкіндік берді .

Арифметика (грек. arіthmētіkē, arіthmos – сан) - сандар (бүтін және бөлшек) және оларға қолданылатын амалдар туралы ғылым (грекше arіthmetіke, arіthmos – сан).

Мысалы ,ежелгі римдіктер 5 пен 10 сандарының арасындағы сандарды саусақпен былайша көбейткен. Айталық , 6-ны 7- ге көбейту керек болсын.Сол қолымыздың жұдырығын жазбастан,бір-бірлеп саусағымызды жаза отырып ,6-ға дейін санаймыз.Ал оң қолымыздың саусақтарымен дәл соны қайталап ,7-ге дейін санаймыз.Оң қолдын жазылған екі саусағын сол қолдың жазылған бір саусағынан үстіне саламыз.Жазылған саусақ небары 3 –еу болады,бұл -3 ондық,яғни 30 болады.Қалған төртеуі (сол қолдың бүгілулі тұрған саусақтары ) 3-ке (оң қолдын бүгілулі саусақтарына ) көбейтіледі,сонда 12 шығады. Сөйтіп ,30 12=42. Осылайша : 68=(1 3)10 42=48 69=(1 4)10 41=54 77=(2 2)10 33=49 78=(2 3)10 32=56 79=(2 4)10 31=63 88=(3 3)10 22=64 89=(3 4)10 21=72 99=(4 4)10 11=81 Саусақпен санау орта ғасырда да практикалық өмірде кең тараған болатын.

Ғасыр - 100 жылға тең уақыт бірлігі. Грегориан күнтізбесіне сәйкес алғашқы ғасыр 1 жылдың қаңтардың 1 басталып желтосанның 31де аяқталған.

«Уақытпен санау хақында» кітап жазған Ирландия ғалымы монах Беда Достопочтенный (673-735)саусақпен санауға бүтін бір тарауды арнаған.

Ғалым (араб.: عالِم‎ - а́лим) - сөзі арабтың а́лим: (дінді) оқыған, оқымысты адамдарына арнап қолданылатын сөзі.

Мәселен ,13-ті 14-ке көбейту былайша орындалатын еді. 1)1010=100 екені белгілі. Бұдан кейін: 2)бір қолдың 3 саусағын ,екінші қолдың 4 саусағын бүгеді. 3)3 4=7 ,бұл-ондықтар,яғни 710=70 4)34=12,бұл бірліктер. Сонымен: 5)1314=1010 710 34=182. Орта ғасырдағы арифметикада саусақтармен санауға байланысты,римдік автор Боэцийден (480-524) бастап,сандар «саусақтарға»(бірліктерге), «буындарға»(ондықтарға)және «құрама сандарға» (басқа қалған сандарға) бөлінетін еді.Бұл сияқты атаулар Л.Ф.Магницкийдің «Арифметикасында» да кездеседі: «саусақтар», «буындар» және «құрамалар».Француздар осы уақытқа дейін бірліктерді «саусақтар» деп атаған. Көбейту мен бөлудің көптеген және алуан түрлі ережелерге ерте заманнан-ақ іс жүзінде қолданылып жүрді. Орыстың ескі бір жазбасында «көз ілеспейтін» деген атаумен ертедегі Үндістанда қолданылып келген «крестпен көбейту» деген қызықты әдісі сипатталып баяндалған. Мысалы,48-ді 27-ге көбейту үшін. 48 × 27 2)7×8=56 3)6-ны жазамыз да,5-ті ойда сақтаймыз 48 ×27 6 4)7×4=28; 28 5=33 33 ойда дейміз,2×8=16; 16 33=49; 5)9-ды жазамыз да,4-ті ойда сақтаймыз: 48 × 27 96 6)2×4=8; 8 4=12 дейміз 7) 12-ні жазамыз да,көбейтіндіде 48×27=1296 1296 шығарып аламыз. Мысырлық математика папирусында бөлшектерді «бірліктерге» жіктеу таблицалары ,кейбір геометриялық фигуралардын аудандарын және көлемдерін есептеп шығару ережелері, ескерткіштердін салмағын анықтауға берілетін есептер,статуялар орнату үшін ұажетті құылыс материялдары мен күн санын табуға берілген және басқа да практикалық есептер бар.

Папирус (лат. Cyperus papyrus) – қияқөлеңдер тұқымдасының құйық туысына жататын көп жылдық шөптесін өсімдік. Сабағының биіктігі 5 м-ге дейін, үш қырлы, жуан, түп жағы қабыршақ жапырақты келеді, вегетативті өркендерінің жапырағы- жіңішке, қандауыр тәрізді тақташық.

Геометрия (көне грекше: γεωμετρία; көне грекше: γῆ - жер и көне грекше: μετρέω - «өлшеу») - математиканың кеңістіктік пішіндер (формалар) мен қатынастарды, сондай-ақ, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды зерттейтін саласы.

Осы папирустарды зерттей келе натурал сандарды арифметикалық қосу және азайту амалдары мысырлықтарда негізінен қазіргі кездегідей орындалатын,ал көбейту мен бөлуді мысырлықтар тізбектеп екі еселеу мен қосуға келтіретін. Мысал келтірейік:15×13. Шешуі: 1 15 15×13=(1 4 8) ×15=15 60 120=195 2 30 3 60 4 120 Сөйтіп,екі баған құрастырамыз,біріншісінің басында 1,ал екіншісінің басында көбейгіш 15 тұратын болсын.Сол жақ бағандағы кейбір сандарды қосып ,13 көбейткішті шыққанға дейін ,ол сандар бірте-бірте екі еселене береді.Ізделінді көбейтіндіні шығарып алу үшін қосу керек болатын оң жақ бағананың сандары сол жақ бағанның қиғаш сызығымен белгіленген сандарына сәйкес келеді. Бөлу көбейтуге кері бағытта келтіріледі:195:15=(15 60 120):15=1 4 8=13 Көне мысырлық тәсілге «орысша көбейту тәсілі» деп аталатын тәсіл жақын,оны революцияға дейінгі деревня шаруалары қолданылып келген.

Бағана- тұрақты баспананың төбеге жабылған ағашын берік ұстап тұратын ұстын, тіреу (ағаш) діңгек. Қазақ түсінігінде үй тіреусіз, бақансыз болмауы керек. Яғни бағана ғұрыптық функция да аткарады. «Тіреусіз үй - көр» деген тұрақты сөз тіркесі осыған байланысты қалыптасса керек.

Революция (лат. revolutіc - бетбұрыс, төңкеріс) - табиғат, қоғам өміріндегі, білім мен танымдағы сапалы өзгерістер. Білім мен танымдағы өзгерістер қатарына ғылыми - техникалық , мәдени, т.б. Революцияларды немесе бетбұрыстық мәні бар адамзат қол жеткізген табыстарды жатқызуға болады.

Ол біреуі қайталанып екі еселенетін,ал екіншісі бір саны шыққанға дейін екіге айырылатын екі көбейткіштің көбейтіндісін тізбектеп алмастыруға негізделген. Мысал: 27×16.Көбейткіштердің біреуі бір бағанның басына жазылып,қайтадан екі еселенеді,еккінші көбейткіш екінші бағанның басына жазылып ,қайталап екіге айырылады. 16 8 108 4 216 2 432 1 4.Амалдарды тоғыздықтың көмегімен тексеру. Ертеде көптеген есептеу әдістері мен арифметикалық амалдарды орындау оңайға түспеді,өйткені олар өте күрделі,шұбалаңқы болып,орын мен уақыт көп кететін болды.Сондықтан ол кезде адамдар жүргізген есептеулерін қазіргіден гөрі жиірек тексеретін еді.Оның үстіне есептеулер қағаз бетінде емес,құм немесе тозаң себілген есептеу тақтасында орындалатын.Әрбір аралық есептеуді құммен «сүртіп» отыратын,сөйтіпкелесі есептеуді орындайтын.Сонында тақтада тек берілген сандар мен табылған нәтиже ғана қалып отырған.Тексеру мақсатымен барлық есептеуді жаңадан қайталап шығу оңайға түспеді.Міне сондықтан да әр түрлі тексеру тәсілдері қолданылды.Тексеру есеп шығарудың соңғы кезеңі болып табылады. Тексерудің көне тәсілдерінің бірі «тоғыздық тәсілі»деп аталады.Ол тәсілдің баяндалуы X ғасырдың өзінде – ақ үнді математиктерінде кездеседі.Онымен кейіннен ислам елдерінің ғалымдары,ал одан да кейінірек-Еуропа математиктері да (Леонардо Фибоначчи,т.б.)танысқан болатын.Кез-келген санды 9-ға бөлгенде,сол сан цифрларының қосындысын тоғызға бөлгенде шығатындай,қалдық қалатыны мәлім.

Пизалық Леона́рдо (лат. Leonardo Pisano, Пиза, 1170 - 1250) - итальян математигі, Орта ғасырлардың ең мықты математигі болып саналады. Фибона́ччи деген лақап атымен көбірек белгілі (Fibonacci).

Сан - мөлшерді сипаттайтын, санауда пайдаланылатын абстракт нәрсе.

Мысалы,1738 санын 9-ға бөлгенде қалдық бір қалады.19=(1 7 3 8); 10=(1 9); сандарын 9-ға бөлгенде де сондай қалдық қалады.1738 санының цифрларын тізбектеп қосудан шыққан бір таңбалы 1 санын шолақ сан деп атайық.Сондай-ақ бірнеше санның қосындысын қандай да бір санғабөлгенде щыққан қалдық әр қосылғышты сол санға бөлгенде шығатын қалдықтардың қосындысына немесе қосындысын берген санға бөлгенде қалатын қалдыққа тең болатыны белгілі. Мысал: 23-ті 7-ге бөлгенде 2 қалдық қалады 85-ті 7-ге бөлгенде 1 қалдық қалады 115-ті 7-ге бөлгенде 3 қалдық қалады ____________________________________ 223-ті 7-ге бөлгенде 6 қалдық қалады Натурал сандарды шапшаң қосу мен азайту әдістері Егер қосылғышты бірнеше бірлікке арттырса, қосындыны сонша бірлікке кеміту керек. Мысалы:564 292=564 (292 8)-8=564 300-8=864-8=856. Егер бір қосылғышты бірнеше бірлікке арттырса, екінші қосылғышты сонша бірлікке кеміту қосынды мәнін өзгертпейді. Мысалы: 997 445=(997 3) (455-3) =1000 452=1452 Егер азайғышты бірнеше бірлікке арттырса, азайтқышты да сонша бірлікке арттыру айырма мәнін өзгертпейді. Мысалы: 2454-1996=(2454 4)-(1996 4) =2458-2000=458 Егер екі санның қосындысынан сол сандардың айырмасын шегерсе, нәтижесінде ікі еселенген кіші санның мәні шығады. (а в)-(а-в) = =2в Мысалы: (77 15)-(77-15) = 30= 2 х 15 Егер екі санның қосындысына сол сандардың айырмасын қосса, нәтижеде үлкен санның екі еселенген мәні шығады. (а в)-(а-в) =2в (54 16) (54-16) = 2 х 54=108 Бағандап шапшаң қосу әдісі Әрбір разрядтың цифрларын бөлек қосып, бірлігінондығының астына келтіріп жазып,содан соң қосу керек. Мысалы: 225 358 339 439 546 746 932 20 25 09 15 10 23 1110 2475 Сандардың квадраттарын табудың оңай әдісі Бүгінгі ғылыми- технологияның дамуына байланысты адамзат баласы ой және дене еңбегін жеңілдететін техникалық құрылғылардың түр-түрін ойлап табуда. Мысалы, қазіргі кезде электронды есептеу машинасын қолдана отырып,кез келген күрделі есептің шешімін аз ғана уақыт аралығында табуға болады. Тіпті, қарапайым есептеу құралы- калькулятордың өзі бүгінгідей нарық заманында қарапайым халық үшін аса тиімді. Әрине, мұның бәрі адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылады. Алайда, қалыптасқан жағдайдың пайдасымен қатар зияны да жоқ емес.

Жағдай - адам әрекетінің , жан-жануарлар тіршілігінің, табиғат пен қоғамдағы өзгерістің, оқиғаның, т.б. айналадағы ортаның ықпалына тәуелділігін білдіретін философиялық ұғым. Табиғаттағы, қоғамдағы белгілі бір өзгерісті тудырушы алғышарт есебінде де қарастырылады.

Атап айтқанда, бүгінде кез- келген оқушының қарапайым көбейту кестесін біле бернмеуі мүмкін. Сол себепті де, баланың логикалық ойлау қабілетін дамыту бүгінгі күннің өзекті мәселелерінің бірі деуге болады.

Логика (гр. λογική - «талдауға құрылған», λόγος - «сөз», «сөйлем», «ойлау», «ақыл») - ойлау, оның формалары мен заңдылықтары туралы ғылым. Логика дәлелдеу мен теріске шығарудың белгілі бір әдіс-тәсілдері қаралатын ғылым теориялар жиынтығын құрайды.

Ғылымның дамуы шығармашылық өнермен тығыз байланысты. Шығармашылық өнер дегеніміз- күтпеген сенсациялық жаңалық ойлап табу ғана емес, сонымен қатар, бұрыннан белгілі жағдайдың бұрын көңіл бөлінбеген қалтарыстарына үңілу. Мәселен,100 санының квадратын еш ойланбастан табу ешкімге де қиындық тудырмасы мәлім.Ал,99 санының квадратын ешқандай құралдың,кестенің өмегінсіз есептеу үшін математиктің өзі біршама ойланған болар еді. Алайда, осы 99 санының квадратын да еш қиындықсыз тез арада есептеуге болады екен.Берілген жағдайда 100 санының квадраты 10000 екені белгілі.Енді, сол 10000 санынан 99 және 100 сандарын айырамыз. 992=1002-100-99=9801 (1) Сонымен, бізге қажетті 99 санының квадраты 9801 екнін аса қиналмай-ақ тауып лдық. Енді, осы қолданған тәсіліміз қандай да бір заңдылыққа бағына ма жоқ па, соны іздестіріп көрейік.Егер, бізге қажетті 99 санын (х-1)2 десек, 99 санын х-1, ал 100 санын х деп белгілейміз. Сонымен, алдыңғы өрнекті былай жазуға болады: (х-1)2 =x2-(x-1)-x (2) өрнекті түрлендірсек, (х-1)2=х2-2х 1 (3) Демек, берілген өрнек (а-b)2=a2-2ab b2, яғни,айырымның квадраты заңдылығының в=1 жағдайы болып табылады. Сонымен, жоғарыда келтірілген өрнекке қарап отырып келесі анықтаманы қабылдауға болады. Анықтама1.Қатар екі санның соңғысының квадраты белгілі болған жағдайда алдыңғы санның квадраты белгілі болған жағдайда алдыңғы санның квадраты кейінгі санның өзін айырғанға тең болады. Аталған анықтаманы керісінше де айтуға болады, яғни ,берілген жағдайда 101 саның квадратын табу үшін 1-өрнекті былай жазуға болады: 1012 =1002 101 100=10000 201=10201 (4) яғни, (х 1)2=х2 (х 1) х (5) (х 1)2=x2 2x 1 (6) 6-өрнек ( а б)2 = a2 2ab b2, қосындының квадраты заңдылығының b=1 болғандағы салдары болып табылады. Анықтама 2.Қатар екі санның алдыңғысының квадраты белгілі болған жағдайда кейінгі санның квадраты алдыңғы санның квадратына алдыңғы сан мен сол санның өзін қосқанға тең болады. Сонымен жоғарыда атап көрсетілгендей, кез-келген санның квадраты белгілі болған жағдайда, сол санның алдындағы және артындағы сандардың квадраттарын өте оңай тәсілмен есептеуге болады екен.Дегенмен, біз қабылдаған анықтамалар тек қатар тұрған сандар үшін берілген. Енді аталған заңдылықтарды басқа да сандар үшін қолдану мүмкіншілігін іздестіріп көрелік. Айталық,бізге 91-109 сандарының квадратын 100 санын қолдана отырып табу қажет болды делік.91-98 сандарының квадраттарын 100 саны арқылы табу үшін,1-өрнекті былай жазылады: 982=1002-(100 98) 2 972=1002(100 98)3 912=1002-(100 91)9 Сонымен,2,3-өрнектер мынадай жалпы түрге ие болады: (x-a)2=x2-(x (x-a))a (x-a)2= x2-2ax a2 мұндағы, х- квадраты белгілі сан;а- квадраты белгілі сан менквадраты анықталтын сан айырымы; мысалы, 98 саны үшін 100-98=2 Жоғарыда келтірілген 4-өрнек 102-109 сандары үшін былай жазылады: 1022=1002 (100 102) ×2=10404 1032=1002 (100 103) ×3=10609 1092=1002 (100 109) ×9=11881 Демек, 4-өрнекті былай түрлендіруге болады: (x a) 2=x2 ((x a) x) ×a (x a) 2 = x2 2ax a2 8,11- өрнектерді кез-келген сан үшін қолдануға болады. Мысалы,17 санының квадратын табу үшін 8-өрнекті былай жазуға болады: 172=202-(20 17) ×3=400-111=289 Яғни, 17 санының алдындағы квадраты оңай есептелетін сандардың ең жақыны 15, ал соңындағы сандардан 20-ны алу тиімдірек. Сонымен,11- өрнек бойынша: 172=152 (15 17) ×2=225 64=289 Қорыта келе , жоғарыдағы анықтамаларды былай жалпылауға болады. Квадраты белгілі санның алдындағы кез-келген санның квадраты сол санның квадратынан сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, айырғанға тең болады. Және керісінше,Квадраты белгілі саннан кейінгі кез-келген санның квадраты сол санның квадратына сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, қосқанға тең. Сонымен,ке-келген санның квадратын қолдана отырып, сол санның маңайындағы сандардың квадраттарыноңай және ұтымды түрде табуға болады екен. Іс жүзінде осы тәсілді игерген оқушы есептеу кестесі мен калькулятордың көмегінсіз- ақ кез-келген саның квадратын еш қиналмай табылатыны сөзсіз. Натурал сандарды шапшаң көбейту мен бөлу әдісі Көбейтудің қосу мен азайтуға байланысты үлестірімділік заңын пайдаланамыз. Мысалы: 7 219 = 7 (210 9) = 1470 63 = 1533 9 186 = 9 (180 6) =1620 54 = 1674 Ферроль әдісімен көбейту Көбейтіндінің бірлігін алу үшін көбейткіштердің бірліктерін көбейтеді.Ондығын алу үшін біреуінің ондығын бірлігіне және керісінше көбейтіп,қосындыға ойға алған санды қосады, жүздігін алу үшін ондықтарын көбейтеді. Бұл әдіс мына теңдіктен шығады: (10 а в)(10с д) =100 ас 10(ад вс) вд Мысалы: 2738 =1026 а) 7×8 =56; 6-ны жазамыз,5-ті ойға аламыз. б) 2×8 7×3 5 =42, 2- жазылады,4 ойға алынады. в) 2×3 4 =10 Ферроль әдісімен 10-нан 20-ға дейінгі екі орынды сандарды шапшаң көбейту Мысалы:12×14 =168 а) 2×4 = 8 б)1×2 1×4 =6 в) 1×1 =1 Осы әдіспен үш орынды санды екі орынды санға көбейтуге болады. Мысалы:125×23 =2857 а) 3×5 =15, 5 жазылады, 1 ойға алынады. б) 2×3 2×5 1 = 17, 7 жазылады, 1 ойда в) 2×2 1×3 1 = 8,8 жазылады г)2×1 = 2 2 жазылады. Одықтары бірдей бірліктерінің цифрларының қосындысы онға тең сандарды шапшаң көбейту әдісі. Көбейткіштердің біреуінің ондығын өзінен бірге артық санға көбейтіп,алдыңғы көбейткен нәтижеге тіркеп жазады. Бұл әдіс мына теңдікке негізделген. (10а в)(10а с) = 100а(а 1) вс, егер в с=10 Мысалы: 23×27=621 а) 2× (2 1) =206 6,жазылады б)3×7=21 21жазылады 204×20=420224 а)20× (20 1) =420 б)4×6=24 24 санын 420 санының оң жағынан тіркеп жазамыз.42024 11 санына шапшаң көбейту әдісі 11-ге көбейтілетін санның соңғы цифрын жазамыз.Тізбектей оңнан солға қарай цимфрларының қосындысын табамыз, содан соң көбейтілетін санның бірінші цифрын жазамыз. Мысалы:54×11=594 а)4-ті жазамыз б)4 5=9 жазылады в) 5-ті жазамыз 124×11=1(1 2)(2 4)4=1364 Егер көрші цифрлардың қосындысы 9-дан артық болса,бірлігі жазылып, ондығы ойға алынады, келесі қосындыға бір саны қосылады. Мысалы:58×11=638 а)8-ді жазамыз б)5 8=13 3-ті жазып, 1- ді ойға аламыз. в)5 1=6, 6- ны жазамыз. 3765×11=41415 а)5-ті жазамыз. б)5 6=11,1-ді ойға аламыз. в)(6 7) 1=14, 4-ті жазып,1-ді ойға аламыз г) (7 3) 1=11, 1-ді жазып,1-ді ойға аламыз д)3 1=4, 4-ті жазамыз. Екі орынды санды 111 санына шапшаң көбейту Оңнан солға қарай тізбекңтей бірінші көбейткіштің соңғы цифрын жазу керек.Содан кейін цифрларының қосындысы, соңында көбейгіштің бірінші цифрын жазу керек. Мысалы:42×111=4(4 2)(4 2) =4662 68×111=7548 а)8-ді жазамыз б)6 8=14, 4 –ті жазып 1-ді ойға аламыз в)6 8 1=15,5-ті жазып,1-ді ойға аламыз. г)6 1=7 Бір орынды немесе екі орынды санды 37 санына көбейту әдісі Бұл әдіс 2×37=74 3×37=111 теңдіктеріне негізделген Мысалы:6×37=37×3×2=222 8×37=(6 2) ×37=222 74=296 45×37=(48-3) ×37=12×4×37-3×37=16×3×37-3×37=3×37(16-1)=111×15=1665 5,25,125 сандарына шапшаң бөлу әдісі Ол үшін сәйкесінше берілген санды 2-ге,4-ке,8-ге көбейтіп 10-ға,100-ге,1000-ға бөлу керек Мысалы:2205=220×210=44 130025=1300×4100=52 9250125=925081000=74 Кейде амалдар тәртібін ауыстыруға болады,әуелі 10,100,1000 сандарына бөліп,сосын 2,4,8 сандарына көбейтуді орындауға болады. 9,99,999 сандарына шапшаң көбейту әдісі Бірінші көбейткішке екінші көбейткіштегі 9-дар саны қанша болса , сонша ноль тіркеп жазады.Содан соң бірінші көбейткішті шегереді. Мысалы:286×9=2860-286=2574 23×99=23000-23=2277 18×999=18000-18=17982 Ондық цифры 5 болатын екі орынды сандарды шапшаң квадраттау әдісі 25 санына санның бірлік разрядындағы цифры қосылады да, оның оң жағынан бірлік рзрядтағы сан квадратталып тіркеліп жазылады, төрт таңбалы сан шығатындай тәртіп сақталады. Бұл әдіс мына тепе-теңдікке негізделген. (50 a) 2=100(25 a) a2 Мысалы: 512=2601 582=3364 a)25 8=33 b)82=64 Соңғы цифры 5 болатын сандарды шапшаң квадраттау әдісі Соңғы 5 цифрын квадраттап,оның алдына келесі разрядтағы санды өзінен 1-ге артық санмен көбейтіп, 5-тің квадраты 25 санының алдына жазады. Мысалы:252=625 a)52=25 b)2(2 1)=6 3052=93025. a)52=25 b)30(30 1)=930 2 1.1314=(3 4)10 34 10 =70 12 100=182 2 2.5354=(3 4)50 34 50 =350 12 2500=2862 1.1917=(4 2)20 13 1020=120 3 200=323 2.7977=(4 2)80 13 7080=480 3 5600=6083 Қорыта келе , жоғарыдағы анықтамаларды былай жалпылауға болады. Квадраты белгілі санның алдындағы кез-келген санның квадраты сол санның квадратынан сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, айырғанға тең болады. Және керісінше,квадраты белгілі саннан кейінгі кез-келген санның квадраты сол санның квадратына сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, қосқанға тең. Сонымен,кез-келген санның квадратын қолдана отырып, сол санның маңайындағы сандардың квадраттарыноңай және ұтымды түрде табуға болады екен. Іс жүзінде осы тәсілді игерген оқушы есептеу кестесі мен калькулятордың көмегінсіз- ақ кез-келген саның квадратын еш қиналмай табылатыны сөзсіз. Пайдаланған әдебиеттер: 1.

Әдебиет (араб.: асыл сөз‎) - сөз өнері, әлеуметтік мәні бар шығармалар жиынтығы.

Перельман Я.И. Қызықты алгебра 2.Математика анықтамалығы 3. «Мектептегі матеметика» 4. «Информатика, физика,математика» журналдары. 5.Г.И.Глейзер «Мектептегі математика тарихы»

  • Фибоначчи

  • жүктеу 154.65 Kb.