Главная страница
Контакты

    Басты бет


Логарифмдерді не үшін оқып- үйренеміз

жүктеу 99.84 Kb.



жүктеу 99.84 Kb.
Дата16.09.2017
өлшемі99.84 Kb.

Логарифмдерді не үшін оқып- үйренеміз



Тақырыбы : " Логарифмдерді не үшін оқып- үйренеміз"

Тоқыжанова Шолпан Қасымқызы, жоғары санатты математика пәні мұғалімі  


Білімділік міндеті:

  • Логарифм ұғымын және оның қасиеттерін жүйелеу және жалпылау;
    Математика (гр. μάθημα - ғылым, білім, оқу; μαθηματικός - білуге құштарлық) - әлдебір әлемнің сандық қатынастары мен кеңістіктік формаларын, пішіндерін өлшейтін, оның ішінде - структуралар, өзгерістер, белгісіздік жөніндегі ғылым.
    Мұғалім немесе оқытушы - болашақ ұрпақтарды қоғамдық өмірге тез әрі жеңіл қосылу үшін және сол қоғамның сол мақсаттарды орындайтын адамдарды қамтамасыз ету қабілетін арттыру үшін тәрбиелеу мен оқыту қажеттілігі себебінен әлемдегі ең кең тараған мамандықтардың бірі.


  • Логарифмдік өрнектердің мәнін есептей білу;

  • Оқушылардың тақырыпты меңгеру дәрежесін анықтау;
    Блок тақырыбы (Заголовок блока; block header) - блоктың басында орналасып, ол жайлы мәліметтер беретін және операциялық жүйеде қолданылатын арнайы жазба. Мысалы, блок тақырыбында оған кіретін логикалық жазбалар саны көрсетілуі мүмкін.


  • ҰБТ-ге дайындық жұмысын жалғастыру(тест, презентация, диктант,ауызша есеп).

Дамыту міндеті:

  • Танымдық қызығушылығын арттыру;

  • Логикалық ойлауын дамыту;

  • Алған білімдерін өмірде қолдана білуге үйрету;

  • Өз ойын жеткізе білуге, қорытынды жасай білуге үйрету.

Тәрбиелік міндеті:

  • Топпен, жұппен жұмыс істей білу іскерлігін арттыру,өзара көмек көрсетуге, қарым-қатынас мәдениетіне тәрбиелеу;

  • Зерттеушілік жұмысқа қызығушылығын арттыру;

  • Алдыға қойылған мақсатқа жете білуге,түйінді мәселелерді шешуде белсенділік көрсетугетәрбиелеу.
    Мақсат - белгілі бір межеге қол жеткізуге бағытталған әрекеттің ой-санадағы көрінісі. Мақсат ойлау нәтижесінде болашақты алдын ала болжау арқылы туатын мұрат, ішкі қозғаушы күшті білдіреді. Мақсатқа жету үшін әр түрлі іс-әрекеттер мен қимылдар жасалады.


Сабақтың әдісі: Түсіндірмелі-иллюстративті,ізденіс-зерттеушілік,сөздік,практикалық.

Типі: Білім, білік , дағдыны жетілдіру сабағы.

Көрнекілігі:

Мультимедиялық проектор,

Презентациялар,

Сабақтың эпиграфы,

Логарифмдік сызғыш,

Сабақтың барысы

I. Ұйымдастыру сәті

Оқушылардың сабаққа дайындығын тексеру.



Мақсат қою

Мұғалімнің кіріспе сөзі

11-сынып өмір жолындағыең жауапты кезең,мектеп бітіру жылы,әрі математика курсының да тарауларын аяқтап,қорытындылайтын кезең. Төменгі сыныптарда сызықтық функция,кері пропорционалдық, квадраттық функция,тригонометриялық функция және көрсеткіштік функциялар туралы мағлұмат алған болатынбыз.Бүгінгі сабағымызда математиканың ең іргелі,ең маңызды, ең қызықты тарауларының бірі логарифмдік функциялар тарауын аяқтап қорытындылаймыз.

II.Проблемалық ситуация.

Логарифмдерді 16-ғасырда күрделі есептеулерді жеңілдету мақсатында шотландиялық прибор ойлап табушы Д.

Кезең - тау жотасы қырқаларының биік бөліктері мен кейбір төбелердің аралығында орналасқая ояң бөліктер. Олардың едәуір белігі тау жоталарының бір жағынан екінші жағына өтуге мүмкіндік туғызады. Кезең - тектоникалық немесе эрозиялық-денудациялық генезисті тау жотасы төбелерінің аралығындағы қырқалар; бар өрісіндегі жоғары қысымды екі атырап пен төмен кысымды екі атыраптың арасындағы кеңістік.
Шотландия ( ағылш. мен скотс. Scotland, кельт. Alba) - Ұлыбританиядағы тарихи аймақ. 17 ғасырдың ортасына дейін тәуелсіз мемлекет болды. Ұлыбритания аралының солтүстік бөлігінен және оған жанасып жатқан ұсақ аралдардан, сондай-ақ Гебрид, Оркней және Шотланд аралдарынан құралады.
Непер ойлап тапты. Оны бүгінгі сабағымыздың эпиграфы ретінде алынып отырған Лапластың сөзі де дәлелдейді «Логарифмдерді ойлап табу,астрономдардың жұмысын жеңілдетіп,олардың өмірін ұзартты».Осыдан ондаған жылдар бұрын логарифмдік сызғышы жоқ инженерлерді елестетудің өзі қиын болатын Жылдар өте есептегіш калькуляторлар пайда болды,компьютерлер келді.Бірақ логарифмдік сызғышсыз бірде-бір есептеу техникасы болмаған болар еді. Қазір түрлі есептеу техникасының дамыған ғасыры, ендеше осы логарифмдерді оқып-үйренудің қажеті бар ма? Бүгінгі таңда логарифмдерді не үшін оқимыз? Жалпы математиканың көмегімен табиғатты және өзіңді басқару мүмкін бе?



Диктант

Логарифмдер тарауына берілген есептерді жақсы шығару үшін, логарифмдік функцияның анықтамасын, қасиеттерін, негізгі логарифмдік формулаларды жақсы білу керек.

Есептегіш, электр есептегіш - тұтынылған электр энергиясын есептеуге арналған өлшеуіш құрал. Тұрмыста жиілігі I 50 Гц, бір фазалы 220 В немесе 127 В айнымалы кернеуге арналған есептегіш пайдаланылады. Электр энергиясы киловатт-сағатпен өлшенеді.
Бізді қоршаған орта: жан-жануарлар мен өсімдіктер, Жер мен Ай, Күн мен алыстағы жұлдыздар - осылардың барлығы да табиғат деген ауқымды ұғымды білдіреді.
Формула (Formula) - электрондық кестедегі (Excel) математикалық өрнек, оның жұмыс нәтижесі торлардағы мәндерге байланысты болады. Мысалы, D5 торына енгізілген мынадай формула =а5+b5+с5 A5, В5, С5 торындағы сандардың қосындысын D5 торына орналастырады.
Қойылған сұраққа «иә» немесе «жоқ» деп жауап беру керек

Диктант сұрақтары(

у = logax функциясы кез келген х үшін тура болады. (^)



  1. у = logax логарифмдік функциясы үшін а>0, а ≠ 1, х>0. болады( _ )

  2. Логарифмдік функцияның анықталу облысы-барлық нақты сандар жиыны.
    Сан - мөлшерді сипаттайтын, санауда пайдаланылатын абстракт нәрсе.
    (^)

  3. Логарифмдік функцияның мәндерінің жиыны- барлық нақты сандар жиыны ( _ )

  4. Логарифмдік функция – жұп. (^)

  5. Логарифмдік функция – тақ. (^)

  6. у = logax функциясы (негізі 1-ден үлкен болғанда) – өспелі.( _ )

  7. у = logaxфункциясы негізі 1-ден кіші оң сан болғанда - өспелі. (^)

  8. Логарифмдік функция (1; 0) нүктесінде экстремум нүктесі бар (^)

  9. у = logaxфункциясының графигі Ох осімен қиылысады. ( _ )

  10. Логарифмдік функцияның графигі жоғары жарты жазықтықта жатады. (^)

  11. ЛогарифмдікфункцияныңграфигіОх осіне қарағанда симметриялы. (^)

  12. ЛогарифмдікфункцияныңграфигіI және IVширекте орналасқан. ( _ )

  13. у = logaxфункциясыныңграфигі Ох осімен(1; 0).нүктесіндеқиылысады ( _ )

  14. Теріс санның логарифмі бар. (^)

Жауабы: ^_^_^^_^^_^^_ _ ^

Бірін-бірі өзара тексеріп, бағалау парағына бағасын жазады.



III.Презентация « Логарифм және табиғат»

Біз жыртқыш құстардың өз жемтігіне қарай тура емес,айнала ұшып жететінін білеміз.

Симметрия (гр. symmetrіa - мөлшерлес) - Жиі кездесетін математикалық ұғымдардың бірі, центрге немесе өс жазықтығын қатысты алғанда бірдей пішінді.фигуралардың орналасуы.
Құстар (лат. Aves) - омыртқалы жануарлар тип тармағының бір класы. Құстардың эволюциялық даму сатысы 4 кезеңге бөлінеді: алғашқы құстар – археоптерикс; тісті құстар; қырсыз жалпақ төстілер – түйеқұстар, киви, пингвиндер; қырлы төсті құстар.
Бірақ осының байыбына барып ,сырына үңіліп көрдік пе? Шын мәнінде олар логарифмдік спираль бойымен қозғалады екен. Бұл құпияны американдық ғалым Тукер ашқан. Ол қыран құстарға зерттеу жүргізе отырып,олар өз жемтігіне қарай 1,5 км радиуста логарифмдік спираль бойымен ұша бастайтынын айтқан. Жүргізген зерттеулер құстар басын 40°-қа бұрған кезде обьектіні өте жақсы көретіндігін көрсетті.Бірақ бұл жағдай ұшуды қиындатты ,жылдамдықтың азаюна әкелді.Сондықтанда құстар өз жемтігіне қарай қырындай,айнала логарифмдік спираль бойымен ұшады екен .Қоршаған ортаның , табиғаттың көптеген заңдылықтары мен құпияларын ашуда математика ғылымының орны ерекше .
Ғылым (араб.: علم‎ (ілім) - білім, тану; лат. scientia - білім) - ақиқат жайлы объективті білімдерді жетілдіру мен жүйелеуге бағытталған адам іс-әрекетінің саласы. Жалпы мағынасы: жүйелік білім мен тәжірибе.
Табиғат құбылыстарының біразын логарифмдік тәуелділік арқылы сипаттауға болады.Мысалы ,аспан әлеміндегі құс жолы логарифмдік спираль формасында болады,ұлу,арқардың мүйізі,өрмекшінің торы спираль формасында болады екен .Ал бұл спиральді олардың өмір сүру уақытының математикалық символы деп айтуға болады.
Тәуелділік (Зависимость; dependence) функция мен оның аргументгері арасындағы қатынас; мәліметгер базасындағы мәліметтер ассоциациясы. Мәліметтер тәуелділігі (Зависимость данных (по данным); data dependence) - мәліметтер мен программаның өзара өсер етуі.
Форма (Қалып; form) - 1) мәліметтерді ұсыну тәсілі; 2) мәліметтер базасын басқару жүйелеріңде (мысалы, Access-Te) - мәліметтер базасындағы ақпаратты (мәліметтерді) енгізу мен редакциялауға пайдаланылатын дисплей экранына көрнекі түрде ұсыну тәсілі.
Уақыт - өлшемдер жүйесінің оқиғаларды реттеу, олардың ұзақтығын және араларындағы интервалдарын сипаттауда, және нәрселердің қозғалысын сипаттауда пайдаланатын маңызды мүшесі. Уақыт мифология, философия және ғылымның әр салада пайдалану үшін қарама-қайшылысыз сипаттау, зерттеу нысаны болып, талай-талай ұлы ғалымдарды өмірге әкелген.



lV. Логарифмнің қасиеттері

Логарифмдер тақырыбына берілген есептерді шешу үшін,негізгі логарифмдік тепе- теңдікті, логарифмнің қасиеттерін жақсы білу керек.

1.Қатесін тап.

2.Өзіңді тексер.

3.Математикалық дартс.

V.Логарифм және музыка

Математика мен музыка мектепте оқытылатын екі түрлі пән,адамзат мәдениетінің екі полюсі.

Музыка тыңдай отырып,дыбыстардың ғажайып әлеміне енеміз,ал есеп шығара отырып, сандардың қатаң кеңістігіне кіреміз.Бірақ ешуақытта сандар кеңістігі мен дыбыстар әлемі арасында байланыс бар деп ойламаймыз.

Кеңістік - философия, математика және физика секілді салаларды пайдаланылатын күрделі ұғым. Күнделікті өмірде іс-қимыл алаңы, барлық нәрселерді қамтитын ортақ ыдыс, әлдебір жүйе жай-жапсары сезініп түсініледі.
Пианиноның клавиштері логарифмдер арқылы ойналады.екінші октаваның «до» нотасына дейінгі жиілік бірінші октаваның «до» нотасына дейінгі жиіліктен 2 есе үлкен,ал үшінші октаваның «до» нотасынан бірінші октаваның «до» нотасына дейінгі жиілік 4есе үлкен, яғни әрбір келесі нотаға негізі 2-ге тең логарифмдер деп аталатын келесі дәреже көрсеткіші сәйкес келеді.
Октава (лат. octava - сегізінші) - жиілік аралығының жүйеден тыс мөлшерсіз бірлігі. Белгілеуі - окт. Екі жиілік қатынасының негізгі екі логарифмі бірге тең жиілік аралығына тең болады, яғни 1 октава = log2 (f1/f2) • f2/f1 = 2, мүнда f1 тән f2 - жиіліктер.
Музыканттар математиканы ұната қоймаса да, олардың жұмысы осы пәнмен тығыз байланысты екен.
Vl. Логарифмдік теңдеулер.
Келесі кезекте біздің алдымызда логарифмдік теңдеулерді шешу әдісін жүйелеу міндеті тұр.Бастауыш сыныпқа келген кезден бастап-ақ сендердің алдарыңда теңдеулерді қалай шешу керек,белгісіз қалай табылады деген мәселе тұрды.Мектеп қабырғасындағы 11 жылда әртүрлі теңдеулермен таныс болдыңдар.
Сұрақ:_Қандай_теңдеулерді_білесіңдер_Жауап'>Сұрақ:
Қандай теңдеулерді білесіңдер?
Жауап:
1.Сызықтық теңдеу

2.Бөлшек рационал теңдеу

3.Иррационал теңдеу

4.Тригонометриялық теңдеу

5.Көрсеткіштік теңдеу

6. Логарифмдік теңдеу


Сұрақ:
Логарифмдік теңдеу дегеніміз не?
Жауап:
Айнымалысы логарифм таңбасының астында болып келген теңдеуді логарифмдік теңдеу деп атайды.
Сұрақ:

Логарифмдік теңдеулерді шешудің қандай тәсілдері бар?


1.Потенциалдау әдісі

2.Бір негізге көшу әдісі

3.Мүшелеп логарифмдеу


4.Жаңа айнымалы енгізу

5.

Логарифм (logos - қатынас және arіthmos - сан), N санының a ≠ 1 негізі бойынша логарифмі - N санын алу үшін а саны дәрежеленетін m дәреже көрсеткіші (Логарифм негізі), бұл logaN түрінде белгіленеді. Сонымен, егер am=N болса, m=logaN.
Айнымалы - әріп түрінде немесе әріптер тобы түрінде программаға енгізілетін және уақыт, ұзындық, баға, түс және т.б. әр түрлі мәндерді қабылдайтын программадагы сандық шама; белгілі бір мәліметтер типін сақтай алатын және программаны атқару барысында мәнін өзгертуге болатын атауы белгілі объект.
Негізгі логарифмдік тепе-теңдікті қолдану



1.Ауызша есеп

2

2



3.
5.

6 .


7.lgtgx=2

8.lgsinx=1


.Логарифм және астрономия
Физика пәнінен сендерге таныс дыбыстың қаттылығы,жұлдыздардың жарықтығы логарифм арқылы бағаланады. Астрономдар жұлдыздарды көрінерлік жарықтығына қарай , бірінші шамадағы жұлдыз,екінші шамадағы жұлдыз, үшінші шамадағы жұлдыз деп ажыратады. Жұлдыздық шамалардың тізбегі арифметикалық прогрессия құраса ,олардың жарықтығы еселігі 2,5-ке тең геометриялық прогрессия құрайды.
1) Қаттылық (орыс. твердость ) - металдың ішіне басқа қаттырақ дененің кіруіне қарсылық жасау қабілеті; материалдардың жергілікті жанасқан күштік әсерлер кезінде беттік қабатының созымды деформацияға немесе морт қирауға қарсыласу қасиеті тексеру.
Астрономия (көне грекше: ἄστρον «жұлдыз» + νόμος (номос), «заң» ) - ғарыштық денелердің құрылысы, дамуы, олар құрайтын ғарыштық жүйелер және тұтас Ғалам туралы ғылым. Астрономия ғарыш кеңістігіндегі жекелеген денелерді немесе денелер жүйелерін, олардың құрылысын, пайда болуын және динамикасын, сондай-ақ, оларда болып жатқан құбылыстарды зерттейді.
Геометриялық прогрессия - әрбір мүшесі (екіншісінен бастап) алдыңғы мүшесінен қандай да бір еселік деп аталатын тұрақты санға ( q ≠ 0 ) көбейтуден шығатын сан қатары : b 1 , b 2 = b 1 q , b 3 = b 2 q , … , b n = b n − 1 q ,\ b_=b_q,\ b_=b_q,\ \ldots ,\ b_=b_q} .
Арифметикалық прогрессия , 1-реттік арифметикалық қатар - әрбір келесі саны (2-саннан бастап) алдыңғысына бір тұрақты d санын қосқанда шығатын сандар тізбегі.
Үшінші шамадағы жұлдыз бірінші шамадағы жұлдыздан , яғни 6,25 есе жарық. Қысқа айтқанда астрономдар жұлдыздың көрінерлік жарықтығын негізі 2,5-ке тең логарифм арқылы бағалайды. Дәл осылайша дыбыстың қаттылығы бағаланады.Дыбыс қаттылығының өлшем бірліктерінің тізбегі 1бел,2бел,3бел арифметикалық прогрессия құраса, дыбыс қаттылығының күші еселігі 10-ға тең геометриялық прогрессия құрайды. Яғни шудың қаттылығы оның физикалық күшінің ондық логарифміне тең.
Физика (көне грекше: φύσις - табиғат) - зат әлемді және оның қозғалысын зерттейтін ғылым. Бұл жөнінде физика күш, энергия, масса, оқтама т.б. сияқты тұжырымдамалармен шұғылданады.
Жапырақ сыбдыры 1бел, әңгімелескен кездегі дыбыс қаттылығы 6,5 бел, ал қаттылығы 8 белден артықшу адам организміне зиян
Vlll Логарифмдік теңсіздіктер
Келесі кезекте логарифмдік теңсіздіктерді шешу міндеті тұр. Логарифмдік теңсіздіктерді шешу дегеніміз- оның барлық шешімін табу немесе оның шешімі болмайтынын дәлелдеу деген сөз.
Экспресс сұрақ
1.Логарифмдік теңсіздіктерді шешуде нені ескеру керек?

2.Логарифмдік теңсіздікті шешудің қандай әдістері бар?


Тест тапсырмалары.


1) ;

2) ;

3) ;

4) .




1) ;

2) ;

3) ;

4) .




1) ;

2) ;

3) ;

4) .




1) ;

2) ;

3) ;

4) .




1) ;

2) ;

3) ;

4) .



1) ;

2) ;

3) ;

4) .



ІХ Логарифм және психология
Логарифмдер арқылы бізді қоршаған орта табиғаттың көптеген заңдылықтарын сипаттауға болатынын көрдік.
Психология - адамның жеке бірлік ретіндегі психикасын, өзінің сан−алуан сезім, аффективтік, интеллектуалды, басқа да туа біткен функцияларымен бірге сыртқы ортамен өзара әрекетін зерттейтін ғылым, кей-кезде адам мінез-құлығын зерттеу деп те анықталады.
Сабақтың бастапқы кезеңінде математиканың көмегімен адам табиғатты және өзін-өзі басқара алады ма деген сұрақ қойған едік. Сұрақ бекер қойылған жоқ. Логарифм психология саласында да қолданылады екен. Сезіну шамасы мен оны тудыратын тітіркендіру шамасының арасында логарифмдік тәуелділік бар. Психолог дәрігер Вебер-Фехнердің психофизикалық заңы бойынша сезіну шамасы тітіркендіру шамасының ондық логарифміне пропорционал.
ХІ .ҰБТ және логарифм
Логарифм, логарифмдік функциялар, логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер ҰБТ-дің барлық нұсқаларында ең жиі кездесетін тапсырмаларға жатады.ҰБТ-дің өткен жылдардағы нұсқаларына талдау жасасақ Адеңгейінде 2-3, В деңгейінде 1-2- ден , С деңгейінде 1-ден кезігіп қалады.
Психофизика (психо... және гр. physike/pysis - табиғат) - жалпы психологияның психикалық және физикалық процестер мен құбылыстардың байланысын зерттейтін саласы. Психофизиканың негізін неміс психологі Г.Т.
ДЕҢГЕЙ (Уровень; layer, level) - абстракциялы дерексіздік дәреже; иерархиялық құрылым қабаты; осы желімен орындалатын белгілі бір мәселелер кешенін сипаттайтын есептеуіш желі қүрылымының логикалық қабаты,
Ал 2008-2009 оқу жылындаҰБТ базасындағы логарифмдік тапсырмалар көбейтілді. Сендерге үйге ҰБТ базасындағы «логарифм» тақырыбындағы есептердің ішінен ең әдемі, жауабы да ерекше есептерді тауып келу тапсырылған болатын.
Оқушы есебі:
1.lgtg1°×lgtg2°×lgtg3°×...×lgtg59°lgtg60°

2.lgtg1° lgtg2° lgtg3° ... lgtg89°


Өзара келісім бойынша менде сендерге ҰБТ базасынан осындай тамаша есепті тауып келуге уәде бергенмін.
Мұғалім есебі:

 = 5,5


log10x 2log10x 3 log10x … 10 log10x = 5,5

log10x (1 2 3 … 10) = 5,5

=  = 55

55 log10x = 5,5



log10x = 0,1

х =  = 


Жауап: 

Х.Сыныппен жұмыс.
Деңгейлік тапсырмалар:
А Деңгей
Теңдеуді шеш: 4
Теңсіздікті шеш: 3
В Деңгей

Теңдеуді шеш: 2=5


С Деңгей

Теңдеудің ең үлкен түбірін тап: lg(x 6)-2=1/2lg (2x-3)-lg25


Теңсіздікті шеш: (2-)√(-1)≥0
Қорытынды.

Сабақтың басында күрделі есептеулерді жеңілдету мақсатында ойлап табылған логарифмдерді ғылым мен техниканың қазіргідей дамыған кезеңінде оқып- үйренудің қажеті бар ма деген сұрақ қойған едік. Жауап беретін кез келген сияқты. Логарифм тек қана математикамен айналысатын адамға ғана емес,басқа мамандық иелеріне де қажет екен.Жоғарыда қарастырылғандардан басқа

1.Жер сілкінудің Рихтер шкаласында

2.Уақыттың логарифмдік шкаласында;

3.Ортаның қышқылдығын анықтайтын pH шкаласында

4.Физиканың барлық бөлімдерінде;

5.Экономикада.

Логарифмдер біздің айналамызда , табиғатта,техникада,өнерде,халық шаруашылығында кеңінен қолданылады.



Үй тапсырмасы:

1.«Жер сілкіну және логарифм» тақырыбы бойынша буклет немесе презентация

2.Тараудың негізгі сұрақтары мен формулаларын қайталау

Шығыс Қазақстан облысы



Аягөз ауданы

  • Тәрбиелік міндеті
  • Сабақтың әдісі
  • Мақсат қою
  • II.Проблемалық ситуация.
  • Vl. Логарифмдік теңдеулер.
  • Сұрақ: Қандай теңдеулерді білесіңдер Жауап
  • Сұрақ: Логарифмдік теңдеу дегеніміз не Жауап: Айнымалысы логарифм таңбасының астында болып келген теңдеуді логарифмдік теңдеу деп атайды. Сұрақ
  • Vlll Логарифмдік теңсіздіктер
  • Экспресс сұрақ 1.Логарифмдік теңсіздіктерді шешуде нені ескеру керек 2.Логарифмдік теңсіздікті шешудің қандай әдістері бар Тест тапсырмалары.
  • ІХ Логарифм және психология
  • Х.Сыныппен жұмыс. Деңгейлік тапсырмалар: А Деңгей Теңдеуді шеш: 4 Теңсіздікті шеш: 3 В Деңгей

  • жүктеу 99.84 Kb.