Главная страница
Контакты

    Басты бет


Әож 519. 832. 2 Г. А. Абдулкаримова, Ф. Р. Гусманова ойындар теориясының КӨмегімен шешім қабылдау әдістемесі

жүктеу 100.42 Kb.



жүктеу 100.42 Kb.
Дата09.05.2017
өлшемі100.42 Kb.

Әож 519. 832. 2 Г. А. Абдулкаримова, Ф. Р. Гусманова ойындар теориясының КӨмегімен шешім қабылдау әдістемесі



ӘОЖ 519.832.2

Г.А. Абдулкаримова, Ф.Р. Гусманова
ОЙЫНДАР ТЕОРИЯСЫНЫҢ КӨМЕГІМЕН ШЕШІМ ҚАБЫЛДАУ ӘДІСТЕМЕСІ

(Абай атындағы Қазақ ұлттық педагогикалық университеті,

әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті, Алматы қ.

Педагогика (гр. 'παῖς', paіda - бала, гр. 'ἄγω', gogos - жетектеуші) - жеке адамды тәрбиелеп, қалыптастыру үшін белгілі мақсатқа бағытталған жүйелі тәрбие мен білім беру туралы ғылым; тәрбиені, білім беруді және оқытуды зерттейтін теориялық және практикалық ғылымдардың жиыны.

Әдістеме - педагогика ғылымының жеке пәндерден берілетін білім көлемі мен мазмұнын негіздеп, оны оқытудың тиімді әдістерін зерттейтін бір саласы. Тұтасынан алғандағы жас ұрпақты тәрбиелеу мен оқыту процесінің заңдылықтарын дидактика зерттейді.

)
Аңдатпа.

Мақалада ойындар теориясының негізгі ұғымдары беріледі. Ойынның математикалық моделі қарастырылады. Оңтайландыру теориясындағы ойындар класының тұрмыста кездесетін мәселелерді шешу барысында шешім қабылдау мүмкіндігінің әдістемесі келтірілген. Күнделікті кездесетін мәселелердің бірін, атап айтқанда компьютер жинайтын фирмаларды мысал ретінде қарастырып, аналитикалық жолмен шығарылған және қандай шешім қабылданатыны алынған. Яғни, ойындар теориясын пайдалана отырып қандай компьютерді, қанша данамен жинаған тиімді болатыны алынды.

Компьютер (ағылш. computer - «есептегіш»), ЭЕМ (электрондық есептеуіш машина) - есептеулерді жүргізуге, және ақпаратты алдын ала белгіленген алгоритм бойынша қабылдау, қайта өңдеу, сақтау және нәтиже шығару үшін арналған машина.

Фирма (итал. firma - қойылған қол) - пайда алу мақсатымен ресурстарды тауарлар өндіру немесе қызметтер көрсету үшін пайдаланатын, бір немесе бірнеше кәсіпкер иеленетін және басқаратын ұйым; заңи тұлға құқықтарын пайдаланатын шаруашылық, өнеркәсіптік, сауда кәсіпорны; бір текті немесе сабақтас кәсіпорындар бірлестігі; ұжымдық немесе жеке кәсіпкерлердің ең кең таралған ортақ атауы.

Ойындар теориясы - конфликт жағдайында тиімді стратегиялық шешім қабылдаудың модельдерін зерттейтін математика саласы. Ойын деген сөз процесс мағынасын береді, ал сол процессте өздерінің мүдделерін жүзеге асыру үшін күрес жүргізетін екі немесе одан да көп тарап қатысады.


Аннотация.

В статье приводятся основные понятия теории игр. Рассматривается математическая модель игры. Приведена методика возможности принятия решения бытовой задачи, из класса игр оптимизационной теории. В качестве примера взята задача из повседневной жизни, а именно рассматривается фирма собирающие компьютеры и приведено решение аналитическим методом теории игр. Предложен вариант принятия эффективного решения о том, какие компьютеры и сколько их нужно выпускать фирме.
The article describes basic concepts of game theory. A mathematical model of the game is considered. The technique of a household tasks’ decision opportunity, from the class of optimization theory of games is shown. As an example, the task of everyday life is referred, particularly a firm collecting computers is taken and the solution through the analytical method of game theory is explained. An option of making effective decisions about which computers and how many of them are necessary to produce by firm is suggested.

Шешімді таңдау туралы мәселелер қарастырылатын көптеген әлеуметтік-экономикалық жағдайлардың (әсіресе нарықтық экономика кезінде) әрқайсысы өзінің мақсатына жету үшін әр түрлі тәсілдермен әрекет ету мүмкіндігі бар, кейбір жағдайларда таңдаулары тайталас жақтардың әрекеттерінен тәуелді әр түрлі қызығушылықтарымен (кей жағдайда қарама-қарсы) кем дегенде екі жақ қатысатындай қасиетті қамтиды. Мұндай жағдайлар дау-жанжал деп аталады [1]. Дау-жанжал жағдайы

1) қызығушы жақтардың жиыны (тұтынушылар, фирмалар, жеке елдер, әр түрлі кеден, сауда, қаржы және экономикалық одақтары, жеке адамдар және т.т.

Жағдай - адам әрекетінің , жан-жануарлар тіршілігінің, табиғат пен қоғамдағы өзгерістің, оқиғаның, т.б. айналадағы ортаның ықпалына тәуелділігін білдіретін философиялық ұғым. Табиғаттағы, қоғамдағы белгілі бір өзгерісті тудырушы алғышарт есебінде де қарастырылады.

Мақсат - белгілі бір межеге қол жеткізуге бағытталған әрекеттің ой-санадағы көрінісі. Мақсат ойлау нәтижесінде болашақты алдын ала болжау арқылы туатын мұрат, ішкі қозғаушы күшті білдіреді. Мақсатқа жету үшін әр түрлі іс-әрекеттер мен қимылдар жасалады.

Нарық - тауар өндірісі мен айналымы заңдары бойынша ұйымдастырылатын айырбасты сипаттайтын тауар қатынастарының жиынтығын білдіреді. Басқаша айтқанда, нарық - нақты тауар сатушылар мен оны сатып алушылардың басын қосатын кез келген институт немесе механизм.

Экономика (гр. Οικονομία - үй шаруашылығын жүргізу өнері) - материалдық игіліктерді өндіру, айырбастау, бөлу және тұтыну үрдісі кезінде адамдар арасында пайда болатын өндірістік қатынастар.

);

2) әрбір жақтың мүмкін болатын әрекеттері (тұтыну көлемін таңдау, дивиденттік саясатты таңдау, инвестициялық қоржынды іріктеудің әр түрлі тәсілдері, ұлттық нарыққа саяси немесе экономикалық түсінік бойынша кейбір тауарларды жібермеу және т.т.

Тауар - қоғамда айырбастау, сатып алу-сату жолымен бөлінетін, құны бар еңбек өнімі, яғни материалдық-заттық пішіндегі өндірістік-экономикалық қызметтің кез келген өнімі, қажеттілікті қанағаттандыратын және базарға жұрттың назарын аудару, сатып алу, пайдалану не тұтыну мақсатымен ұсынылатын нәрселер, яғни сатып алу-сату, сатушы мен сатып алушы арасындағы нарықтық қатынастар нысаны.

);

3) қарама-қарсы жақтардың мүддесі (әр түрлі саяси, қаржы, экономикалық сұраныстарды қанағаттандыру, монополиялық пайда, тауар өткізетін нарықтан бәсекелестерді ығыстыру, артық тауарды сыртқы нарықта сатып жіберу, қазынаның және өндірушілердің табысын арттыру және т.т.) белгілерімен сипатталады.

Нақты өмірлік дау-жанжалда әрбір жақтың жүрісін таңдау – күрделі есеп. Сондықтан оны талдау үшін берілген дау-жанжал жағдайындағы маңызды емес факторларды алып тастап және оның орындалуын белгілі тәртіппен шектей отырып математикалық модельдеуге жүгінуге тура келеді  [2,3].

Дау-жанжал жағдайындағы математикалық модель ойын деп аталады.

Фактор, экологияда - 1) процестердің қозғаушы күші немесе оларға ықпалы бар жағдай, қайсыбір процестегі, құбылыстағы мәнді жағдай; 2) факторлық талдауда зерттелетін айнымалы шамалар арасындағы корреляция өрнегінің көрінісі.

Математикалық модель (Математическая модель; matemathical simulation) - объектінің қызметі мен құрылымын сипаттайтын математикалық тәуелділіктер жүйесі, яғни математикалық формулалар мен тендеулер арқылы өрнектелетін объектілердің математикалық сипаттамалары.

Дау-жанжал жағдайындағы тиімді шешімді қабылдайтын математикалық модельдеумен айналысатын амалдарды зерттеу теориясының бөлімі ойындар теориясы деп аталады.

Ойында мүдделі (қызығушылығы бар) жақтар ойыншылар деп аталады. Дау-жанжал қорытындысы ұтыс деп аталады. Көбінесе, әйтсе де барлық уақытта емес, ойыншылар тең құқылы болып есептеледі.

Ойынды математикалық қалыптастыру мақсатында қарастырсақ, ойын шарттар жүйесін беретін белгілі ережелер бойынша жүргізілуі керек. Ол:


  • әрбір ойыншының мүмкін болатын әрекеттерін;

  • әрбір жақ басқа жақтардың әрекеттері туралы ала алатын ақпарат көлемін;

  • қарсыласының жүрісінің әрбір жиынтығының нәтижесіндегі ойынның қорытындысын

сипаттайды.

Ойын бірнеше рет қайталанғанда ойыншыға барынша көп (максимал) мүмкін болатын орташа ұтысқа (немесе барынша аз (минимал) мүмкін болатын орташа ұтылысқа пара-пар) кепілдік беретін стратегия тиімді стратегия деп аталады.

Стратегия гр. strategia - әскер кіргізу - қоғамдық, саяси күреске басшылық өнері, оны жүргізудің қоғам (кәсіпорын, партия) дамуының нақты кезеңінің нақты жағдайларынан туындайтын жалпы жоспары, белгілі бір мақсатқа қол жеткізуге бағытталған қаражат пен ресурстарды пайдалану тәсілі.

Басқаша айтқанда, ойыншылардың біреуі (айталық, біріншісі) өзінің стратегиясын ұстаған кезде, екіншісі барынша көп ұтысты иемденуі керек, және осы мезгілде екінші ойыншы өзінің стратегиясын ұстаған кезде бірінші ойыншы барынша аз ұтылысты иемдену керек. Міне осындай стратегиялар тиімді стратегиялар деп аталады.

Осы айтылғандарды жалпыласақ, ойын ойыншылар жиынынан , белгілі бір ойыншының стратегиялар жиынынан және сол ойыншының ұтыс функциясынан тұрады:

. (1)

Оңтайландыру теориясындағы осы қарастырылған ойындар класының да тұрмыста кездесетін мәселелерді шешу барысында шешім қабылдау мүмкіндігінің әдістемесін келтірейік.

Компьютерлерді жинаумен айналысатын белгілі бір фирма, кез келген мекеме, өндіріс сияқты жылдың аяғына қарай келесі жылдың жұмыс жоспарын дайындайды. Жоспарда басқа да негізгі мәселелермен қатар үстелдік компьютерлер (екі ядролы және төрт ядролы) мен ноутбуктардың (екі ядролы және төрт ядролы) бір жылда шығарылатын жалпы саны, төрт ядролық үстелдік компьютерлердің бір жылда шығарылатын және әрбір квартал сайын шығарылатын жоспар саны көрсетіледі. Фирма жұмысының осы көрсеткіштері фирмадан өндірілетін


  • компьютерлердің жалпы сомасын максималдауды;

  • төрт ядролы үстелдік компьютерлдерден түсетін пайданы максималдауды;

  • төрт ядролы үстелдік компьютерлерді жинауға және сақтауға жұмсалатын шығынды минимизациялауды қамтамасыз етуді талап етуге мүмкіндік береді.

Және фирма қызметкерлері қойылған мақсаттарды приоритетімен орналастырады.

Қызметкер, жұмыскер - жұмысты еңбек шарты (келісімшарт) негізінде орындаушы, кәсіпорынның, ұйымның, мекеменің ішкі еңбек тәртібіне бағынушы адам. Еңбек заңнамасына сәйкес азаматтық-құқықтық шарттардың кез келгені бойынша (мердігерлік шарт, тапсырма, авторлық шарт бойынша) жұмыс атқарушы адам қызметкер болып саналмайды.

Әрбір алдыңғысы өзінен кейінгі мақсатқа қарағанда маңызды болып есептеледі. Сондықтан осы мәселенің шешімін қабылдаған кезде көрсетілген приоритеттерді ескереміз. Біз қарастырып отырған мысалда фирманың үш маңызды мақсаты бар, сондықтан әр түрлі үш оңтайландыру есебі шешіледі. Қарастырып отырған мақалада біз бірінші мақсатқа жетуде қабылданатын шешімді қарастырамыз.

Сонымен, аталған фирма жинақтайтын үстелдік компьютерлер мен ноутбуктардың жалпы сомасын максималдау мәселесінің шешімін табу талап етілсін.

Ол неден тәуелді болады?

Өтім көлемі өтім нарығының өлшемінен, фирма шығаратын әрбір типтегі компьютерлер санынан, өткізу нарығында бәсекелес өнімнің қаншалықты бар екеніне және сатып алушылардың қызығушылығына тәуелді болады. Осы аталған көрсеткіштерден фирма қызметкерлері жинап шығаратын үстелдік компьютерлер мен ноутбуктардың санын ғана өзгерте алады, басқа көрсеткіштерге әсер ете алмайды. Демек, осы есепте басқару айнымалылары ретінде фирма бір жылда жинггалатын үстелдік компьютерлер мен ноутбуктардың сандары бола алады, оларды сәйкес арқылы белгілейміз. және шамаларының тиімді мәндері фирма жұмысы жоспарының алғашқы екі көрсеткіштерәінің ізделінді мәндері болып табылады. Бір жағынан өтім көлемі фирманың қызметі мен қатар бәсекелес фирманың жұмысына да байланысты болады. Түсінікті болу үшін қарастырып отырған фирманы – Х, бәсекелес фирманы – У арқылы белгілейік.

Әйтсе де, «Х» фирмасы «У» фирмасының өндірілетін өнім саны мен өнім түрлеріне әсер ете алмайды. және арқылы «X» фирмасы, және арқылы «У» фирмасы дайындайтын сәйкес үстелдік компьютерлер мен ноутбуктар сандарын белгілейік.

Ноутбук (ағылш. notebook - блокнот) – дербес компьютердің құрамы, пернетақта, монитор,қалталы компьютер және қуат көзінің батареясының ықшамдалған түрдегі жиынтығы. Ноутбуктардың басты ерекшеліктері жеңіл салмақтылығыда және көлемінің ықшамдылығында.

Сондықтан берілген есепте және айнымалылары басқарылмайтын айнымалылар болып табылады.

Есеп күйінің айнымалыларына өткізу нарығындағы өнімді жүзеге асыру мүмкіндіктерін анықтайтын барлық көрсеткіштер жатады, атап айтқанда: және , және айнымалылары, мұндағы – сатып алушы үстелдік компьютер мен ноутбуктардың арасынан таңдау мүмкіндігі болса, үстелдік компьютерді сатып алуды таңдау ықтималдығы, ал – өткізу нарығы.

Сауда ұйымының мәліметтері бойынша фирма өзінің өнімін өткізетін аумақтың келесі жылға әлеуеттік нарығы компьютерлерді құрайды.

Айнымалы - әріп түрінде немесе әріптер тобы түрінде программаға енгізілетін және уақыт, ұзындық, баға, түс және т.б. әр түрлі мәндерді қабылдайтын программадагы сандық шама; белгілі бір мәліметтер типін сақтай алатын және программаны атқару барысында мәнін өзгертуге болатын атауы белгілі объект.

Мәліметтер (данные; data) - автоматты құралдардың көмегімен, кей жағдайда адамның қатысуымен, өңдеуге I ыңғайлы түрде берілген мағлұмат. Мәліметтердің кірістік, шығыстық, басқару, проблемалық, сандық, мәтіндік, графикалық және т.б.

Аумақтағы нарықта үстелдік компьютерлермен қатар ноутбуктар болған кезде, сатып алушылардың жартысы ноутбукты алғанды жөн санайды.

Мамандар фирма өнімдерінің тұтынушы қасиеттерін талдай отырып және модельдерінің арасында таңдау болған жағдайда сатып алушы компьютерді таңдау ықтималдығы

шамасына тең болса, және модельдерінің арасында таңдау болған жағдайда сатып алушы компьютерді таңдау ықтималдығы



шамасына тең болады, мұндағы , , – белгілі бір цифрлар.

Осы есептің математикалық моделі оңтайландыру есебінің жоғарыда қарастырған шешімдерді қабылдаудың ойындар теориясының калсына келтіріледі.

Берілген мысалда екі ойыншы – «Х» және «У» фирмалары, яғни . Екі ойыншының да екі-екіден таза стратегиялары бар:



Демек, ,

Пайдаланылатын стратегиялардың ақырлы санындағы ойыншылардың ұтыс функциясын матрицалық түрде жазған ыңғайлы.

«Х» фирмасының бірінші ойыншысының ұтыс матрицасы:



, ; шамасы есептің шарты бойынша егер ол і-ші стратегияны таңдаса, ал «У» фирмасы -ші стратегияны ұстаса аумақ нарығында фирма жүзеге асыра алатын компьютерлердің максималды санын сипаттауы керек.

Аумақ - құрлық бетінің өзіне тән табиғи, сондай-ақ адамның карекеті нәтижесінде жасалған қасиетгері мен ресурстары бар бөлігі. Ресурстардың ерекше түрлерінің болуымен - орналасуымен (ауданымен), географиялық орнының ерекшелігімен, табиғи ландшафтының өзіндік типтерімен, шаруашылыққа игерілу дәрежесімен, "қоғам қарекетінің кеңістіктік базисі" рөлін атқару қабілеттілігімен сипатталады.

болғанда «Х» фирмасы мен «У» фирмасы бірдей стратегияны таңдайды, яғни аумақ нарығында үстелдік компьютерлердің екі моделі немесе ноутбуктардың екі моделі сатылатын болады. Бұл модельдер өтеізу нарығында өзара бәсекелес болады. Бұл жағдайда фирма өзінің компьютерлерін жүзеге асыра алады.

Егер болса, онда «Х» және «У» фирмалары әр түрлі компьютерлерді (бір фирма үстелдік компьютерді, екінші шығаратын болады. Бұл жерде үстелдік компьютерлерді өткізу нарығы



ал ноутбуктарды өткізу нарығы



шамасын құрайды.

Әрқайсысының бөлінген өткізу нарығы болуына байланысты «Х» фирмасы мен «У» фирмасыөз ара бәсекелеспейді және оларды толығымен насытитьете алады, яғни , .

Осындай тәсілмен матрицасының басқа элементтері анықталады. Содан кейін екінші ойыншының ұтыс матрицасы құрылады және және матрицаларын талдау негізінде қарастырып отырған ойынымыз тұрақты қосындымен сипатталатынын дәлелденеді.

Тұрақты қосындылы екі ойыншысы бар ойын антагонистикалық ойынмен стратегиялы бара-бар. Бұл – қарастырып отырған есепті антагонистикалық ойындарды шығару әдістерін пайдалануға мүмкіндік береді.

Графикалық әдіс қолданатын аралас стратегияға тәуелді ойыншының күтілетін ұтысының өзгерісін сипаттайтын сызықтардың үйірін құруға негізделген. Әдіс қарапайым және көрнекті, бірақ оны ойыншылардың біреуінің екі стратегиясы болған жағдайда ғана осы әдісті пайдалануға болады.



, , шамаларының нақты мәндерінде берілген есепті шығарамыз. Айталық, , , болсын. Сонда «Х» және «У» фирмалары дайындайтын үстелдік компьютерлердің арасында таңдау болған жағдайда сатып алушы «Х» фирмасының өнімін сатып алу ықтималдығы

,

мәніне, ал «Х» және «У» фирмалары дайындайтын ноутбуктардың арасында таңдау болған жағдайда сатып алушы «Х» фирмасының өнімін сатып алу ықтималдығы



Бірінші ойыншының («Х» фирмасы) ұтыс матрицасын құру үшін барлық үшін , ; ұтысын табамыз:





,



Демек, «Х» фирмасының ұтыс матрицасы мына түрде жазылады:



Осылайша екінші ойыншының («У» фирмасы) ұтыс матрицасы анықталады:





,



Демек, «У» фирмасының ұтыс матрицасы:



Барлық үшін , яғни берілген ойын тұрақты қосындылы ойындар класына жатады. Осы айтылғандарға көз жеткізу мақсатында келесі арифметикалық амалдарды орындаймыз:









Ойын шешімін тапқан кезде алдымен, таза стратегиялардағы бірқалыптылық жағдайды табу керек.

Арифметика (грек. arіthmētіkē, arіthmos – сан) - сандар (бүтін және бөлшек) және оларға қолданылатын амалдар туралы ғылым (грекше arіthmetіke, arіthmos – сан).

Ал ол максимин мен минимакстың теңдігі орындалған жағдайда ғана орындалады:



.

матрицасы үшін осы теідіктің орындалатынын тексерейік:

Сонымен, максимин мен минимакс теңдіктері орындалмайды, ал бұл болса ойынның ер нүктесі жоқ екенін, яғни шешім тек қана аралас стратегияларда болатынын білдіреді.

Ойыншылардың тиімді аралас стратегиясын табу үшін аналитикалық шығаруды пайдаланамыз.

Ойындар теориясының негізгі теоремасына сәйкес «Х» ойыншының тиімді стратегиясын қолдану «У» ойыншының кез келген стратегиясында ұтысты иемденеді. Осы айтылғандардың негізінде «У» ойыншының сәйкес 1-ші және 2-ші стратегияларын ұстағанда келесі теңдеулер жүйесін аламыз:



Осы жүйені шеше отырып, тиімді стратегияны және ойынның құнын аламыз:



,
,
.
Сонымен, «Х» фирмасы келесі жылға 11018 компьютерлерді жинауды жоспарлау керек, олардың ішінде:

– үстелдік компьютер болса,

– ноутбуктар жинауды жоспарлаған дұрыс болады.


  1. Гусманова Ф.Р. Амалдарды зерттеудің негіздері.

    Амалдарды зерттеудің негіздері - 2011 жылы Алматы қаласы «Дәуір» баспасында басылып шыққан кітап. Кітап авторы/құрастырушысы - Ф. Г. Гусманова. Беттер саны - 472.

    Жоғары оқу орындарының студенттеріне арналған оқулық. – Алматы: ЖШС РПБК «Дәуір», 2011. – 472 бет.

  2. Gusmanova F., Abdulkarimova G. Mathematical modeling of economic problems by the using the elements of the theory games // vith Ryskulov readings: Socio-economic modernization of Kazakhstan under conditions of global financial instability pages:126-141 Published: 2012, may 16-18, 2012. wos: 000317270100009.

  3. Гусманова Ф.Р., Абдулкаримова Г.А. Табиғатпен ойында тәжірибені жоспарлау // Международный научный форум.

    Бізді қоршаған орта: жан-жануарлар мен өсімдіктер, Жер мен Ай, Күн мен алыстағы жұлдыздар - осылардың барлығы да табиғат деген ауқымды ұғымды білдіреді.

    «VI Рыскуловские чтения» КазЭУим. Рыскулова, Алматы, май 2012. С.325-329.



  1. Gusmanova FR Amaldardy zertteudin negizderi. Zhogary oku oryndarynyn studentterine arnalgan okulyk. - Almaty: ZHSHS RPBK "Daur", 2011. - 472 bet.

  2. Gusmanova F., Abdulkarimova G. Mathematical modeling of economic problems by the using the elements of the theory games // vith Ryskulov readings: Socio-economic modernization of Kazakhstan under conditions of global financial instability pages:126-141 Published: 2012, may 16-18, 2012. wos: 000317270100009.

  3. Gusmanova F.R., Abdulkarimova G. A. Tabigatpen of an oyynd of a tazhiribena to a zhosparla//International scientific forum. "The VI Ryskulovsky readings" Kazeuim. Ryskulova, Almaty, May, 2012. Page 325-329.



Название статьи:

Ойындар теориясының көмегімен шешім қабылдау әдістемесі

Методика принятия решения задачи c помощью теории игр

Technique of the task’s decision-making by using game theory


Түйін сөздер

Ойындар теориясы, шешімді қабылдау, таза стратегия, аралас стратегия, максимин, минимакс.

Теория игр, принятия решения, чистая стратегия, смешанная стратегия, максимин, минимакс.

Game theory, decision making, pure strategy, mixed strategy, maximin, minimax.




Глюся Алимовна Абдулкаримова,

Glyussya Abdulkarimova
Фарида Равиловна Гусманова

Farida Gusmanova

  • Амалдарды зерттеудің негіздері
  • Глюся Алимовна Абдулкаримова, Glyus s ya Abdulkarimova Фарида Равиловна Гусманова Farida Gusmanova

  • жүктеу 100.42 Kb.